Question

如图，已知直线y=kx+2经过点P（1，），与x轴相交于点A；抛物线y=ax²+bx（a＞0）经过点A和点P，顶点为M．
（1）求直线y=kx+2的表达式；
（2）求抛物线y=ax²+bx的表达式；
（3）设此直线与y轴相交于点B，直线BM与x轴相交于点C，点D的坐标为（，0），试判断△ACB与△ABD是否相似，并说明理由．

Answer

（1）已知点P的坐标，利用待定系数法能确定直线AB的解析式．
（2）首先根据直线AB的解析式求出点A的坐标，点P的坐标已知，利用待定系数法求解即可．
（3）△ACB和△ABD中，已知的条件是一个公共角，若两者相似，那么夹公共角的两组对应边成比例，即只需判断是否满足AB2=AC•AD的条件即可．
【解析】
（1）将点P（1，）代入直线y=kx+2中，得：
k+2=，k=；
∴直线AB的解析式：y=x+2．

（2）由直线AB的解析式知：A（-4，0）、B（0，2）．
将点A（-4，0）、P（1，）代入y=ax2+bx（a＞0）中，得：
，解得
∴抛物线的解析式：y=x2+2x．

（3）由（2）的抛物线知：点M（-2，-2）；
由于直线BM经过点B（0，2），设该直线的解析式：y=mx+2，有：
-2m+2=-2，m=2
即直线BM：y=2x+2，得点C（-1，0）．
由A（-4，0）、B（0，2）得：AB2=OA2+OB2=20；
由C（-1，0）、D（，0），得：AC•AD=（4-1）×（4+）=20；
∴AB2=AC•AD
又∠BAC=∠DAB，
∴△ACB∽△ABD．