Question

如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，请在边AB上作出C，D两点的所有勾股点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．
①当t=4、t=5时，直接写出点H的个数．
②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．

Answer

（1）以CD为直径作圆O，与AB的交点就是C、D的勾股点．
（2）①当t=4或t=5时，分别作出图形，当∠MHN=90°时，当∠H''NM=90°时，当∠H'MN=90°时在l上的勾股点分别为个或2个；
②利用①的结果可以探究满足条件的点H的个数及相应t的取值范围．
【解析】
（1）如图1，尺规作图正确（以线段CD为直径的圆与线段AB的交点）；

（2）①如图2，当t=4时，当∠MHN=90°时，当∠H''NM=90°时，当∠H'MN=90°时，有3个勾股点H，H′，H″；

如图3，当t=5时，当∠MHN=90°时，当∠H′MN=90°时，有2个勾股点H，H′；

②如图4，当0≤t＜4时，有2个勾股点；

如图5，当t=4时，有3个勾股点；

如图6，当4＜t＜5时，有4个勾股点；

如图7，当t=5时，有2个勾股点；

如图8，当5＜t＜8时，有4个勾股点；

如图9，当t=8时，有2个勾股点．

综上所述，当0≤t＜4或t=5或t=8时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．