Question

如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的边ND上的中线．
（1）求证：AB=DN；
（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若PC=5，CD=8，求线段MN的长．

Answer

（1）由AB为元O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到一对角相等，再利用等角的余角相等得到一对角相等，根据AC=CD，利用ASA得出三角形ABC与三角形DNC全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）CP与圆O相切，理由为：连接OC，CP为直角三角形斜边上的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到PC=PN，都为斜边的一半，利用等边对等角得到一对角相等，再由对顶角相等得到一对角相等，利用等边对等角及等量代换得到OC垂直于CP，即可得证；
（3）由PC求出DN的长，根据三角形ABC与三角形DCN全等，得到CN=CB，由AC=CD，AB=DN，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，即为CN的长，由AC-CN求出AN的长，在直角三角形AMN与直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将各自的值代入即可求出MN的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DNC中，
，
∴△ABC≌△DNC（ASA），
∴AB=DN；
（2）【解析】
CP是⊙O的切线，理由为：
证明：连接OC，
∵CP是△CDN的边ND上的中线，∠NCD=90°，
∴PC=PN=DN，
∴∠PCN=∠PNC，
∵∠ANM=∠PNC，
∴∠ANM=∠PCN，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ANM=90°，
∴∠ACO+∠PCN=90°，
∴∠PCO=90°，
∴CP是⊙O的切线；
（3）∵PC=5，
∴DN=2PC=10，
∵△ABC≌△DNC，
∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10，
∴CN=BC==6，
∴AN=AC-CN=2，
∵sinA==，
∴=
∴MN=．