Question

如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer

（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解．
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件．
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论．找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可．
【解析】
（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y=a（x-1）2-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）2-4=x2-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m2-2m-3，解得m=（m=＞0，舍），
∴P（，）．

（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴=，即=，∴DQ1=，
∴OQ1=，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴=，即=，
∴OQ2=，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴=，即=，
∴OQ32-4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，
即Q3（0，-1），Q4（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．