Question

已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）如图2，当折叠后的经过圆心O时，求的长；
（2）如图3，当弦AB=2时，求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

Answer

（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可；
（2）如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（3）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于点E，交于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB、CD的距离之和；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
【解析】
（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE
∵点E与点O关于AB对称
∴△OAE、△OBE为等边三角形；…1分
∴∠OEA=∠OEB=60°
∴==；…2分

（2）如图3，连接O′A、O′B，
∵折叠前后所在的⊙O与⊙O′是等圆，
∴O′A=O′B=OA=AB=2
∴△AO′B为等边三角形；…3分
过点O′作O′E⊥AB于点E
∴O′E=O′B•sin60°=；…4分

（3）①如图4，与所在圆外切于点P时，
过点O作EF⊥AB交于点E，交于点F，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分CD、且必过点P，…5分
根据垂径定理及折叠，可知，…6分
又∵EF=4，
∴点O到AB、CD的距离之和为：
d=PH+PG=；…7分
②如图5，当AB与CD不平行时，
四边形OMPN是平行四边形…8分
证明如下：
设O′、O″为和所在圆的圆心，
由折叠可知：O′与O关于AB对称，O″与O关于CD对称，
∴M为OO′的中点，N为OO″的中点；…9分
∵所在圆外切，
∴连心线O′O″必过点P，
∵所在圆与⊙O都是等圆，
∴O′P=O″P=2；
∴；
∴四边形OMPN是平行四边形．