Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于D，AC于E，连接AD、BE交于点M，过点D作DF⊥AC于F，DH⊥AB于H，交BE于G，下列结论：①BD=CD；②DF是⊙O的切线；③∠DAC=∠BDH；④DG=BM．成立的个数（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①利用直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理即可判断；
②根据垂径定理可以证得OD⊥BE，然后证明DF∥BE，即可证得：DF⊥OD，则依据切线的判定定理可以证得；
③利用DH是直角三角形的斜边上的高线，则∠DAB=∠BDH，结合∠BAD=∠DAC即可证得；
④根据等角对等边，可以证得DG=BG，DG=GM即可求证．
【解析】
①∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=DC．∠BAD=∠DAE，
故①正确；
②连接OD．
∵∠BAD=∠DAE，
∴=，
∴OD⊥BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC
又∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴DF⊥OD，
∴DF是切线．故②正确；
③∵直角△ABD中，DH⊥AB，
∴∠DAB=∠BDH，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠BDH．
故③正确；
④∵∠DBE=∠DAC（同弧所对的圆周角相等），
∠BDH=∠DAC（已证），
∴∠DBE=∠BDH
∴DG=BG，
∵∠BDH+∠HDA=∠DBE+∠DMB=90°，
∴∠GDM=∠DMG
∴DG=GM
∴DG=GM=BG=BM．
故④正确．
故选D．