Question

抛物线y=ax²+bx+3经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC=90°，请直接写出实数m的取值范围．

Answer

（1）由y=ax2+bx+3经过点A（-1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令x=0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x+3，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a2+2a+3），求出PD的长，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，得到S△BDC=-（a-）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；
（3）将x=代入抛物线解析式y=-x2+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD2+DM2=CM2，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN=x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．
【解析】
（1）由题意得：
，
解得：，
故抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（2）令x=0，则y=3，即C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
则，解得：，
故直线BC的解析式为y=-x+3．
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=PD•a+PD•（3-a）=PD•3=（-a2+3a）=-（a-）2+，
∴当a=时，△BDC的面积最大，此时P（，）；

（3）将x=代入y=-x2+2x+3，得y=-（）2+2×+3=，
∴点D的坐标为（，）．
过点C作CG⊥DF，则CG=．
①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大．
∵∠MNC=90°，∴CD2+DM2=CM2，
∵C（0，3），D（，），M（m，0），
∴（-0）2+（-3）2+（m-）2+（0-）2=（m-0）2+（0-3）2，
解得m=．
∴点M的坐标为（，0），
即m的最大值为；
②点N在线段GF上时，设GN=x，则NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
又∵∠NGC=∠MFN=90°，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，即=，
整理得，MF=-x2+2x=-（x-）2+，
∴当x=时（N与P重合），MF有最大值，
此时M与O重合，
∴M的坐标为（0，0），
∴m的最小值为0，
故实数m的变化范围为0≤m≤．