Question

如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，分别过B、C作BF、CF的垂线，交CF、BF的延长线于点D、E，且BD、EC交于点G．则下列结论：①∠D+∠E=∠A；②∠BFC-∠G=∠A；③∠BCA+∠A=2∠ABD；④AB•BC=BD•BG．正确的有（ ）

A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

Answer

由在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，与BD⊥BF，EC⊥CF，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易求得∠D+∠E=∠A；
由DG⊥BF，可得G=90°-∠E=90°-∠A，由∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，即可证得∠BFC-∠G=∠A；
根据角平分线的定义与三角形内角和定理，易证得∠BCA+∠A=2∠ABD；
然后证得△DBC∽△ABG，由相似三角形的对应边成比例，即可证得AB•BC=BD•BG．
【解析】
∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴∠ABF=∠CBF=∠ABC，∠ACF=∠BCF=∠ACB，
∵∠BFD=∠CFE=∠CBF+∠BCF=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，
∵BD⊥BF，EC⊥CF，
∴∠D=90°-∠BFD=∠A，∠E=90°-∠CFE=∠A，
∴∠D+∠E=∠A；
故①正确；
∵DG⊥BF，
∴∠FBG=90°，
∴∠G=90°-∠E=90°-∠A，
∵∠BFC=180°-（∠CBF+∠BCF）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，
∴∠BFC-∠G=（90°+∠A）-（90°-∠A）=∠A；
故②正确；
∵DG⊥BF，
∴∠ABD=90°-∠ABF，
∵BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABF，
∴2∠ABD=180°-2∠ABF=180°-∠ABC，
∵∠BCA+∠A=180°-∠ABC，
∴∠BCA+∠A=2∠ABD；
故③正确；
连接AG，
∵在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点F，
∴AF是∠BAC的平分线，
∴∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF）=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-（180°-∠ACB）=90°+∠ACB①，
∵BF⊥DG，CF⊥EC，
∴∠FBG=∠FCG=90°，
∴∠FBG+∠FCG=180°，
∴点B，G，C，F共圆，
∴∠BFG=∠BCG=90°-∠FCB=90°-∠ACB②，
∴由①②可得：∠AFB+∠BFG=180°，
∴A，F，G共线，
∵∠BAF=∠D=∠BAC，∠DBC=90°+∠CBF，∠ABG=90°+∠ABF，
∴∠DBC=∠ABG，
∴△DBC∽△ABG，
∴BD：AB=BC：BG，
∴AB•BC=BD•BG．
故④正确．
故选D．