Question

如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB=CE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC=，求 的值．

Answer

（1）连接OE．欲证CD为⊙O的切线，只需证明OE⊥CD即可；
（2）作辅助线（延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T）构建相似三角形：△AHG∽△CHB；在Rt△ABC和Rt△DTC中，利用∠BAC的正切函数的定义以及勾股定理求得线段AD（DE）与线段AG（CB）间的数量关系；最后利用相似三角形的对应边成比例求得===1．
【解析】
（1）证明：连接OE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）延长BE交AM于点G，连接AE，过点D作DT⊥BC于点T．
∵DA、DC、CB为⊙O的切线，
∴DA=DE，CB=CE．
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=，令AB=2x，则BC=x．
∴CE=BC=x；                  
令AD=DE=a，
则在Rt△DTC中，CT=CB-AD=x-a，DC=CE+DE=x+a，DT=AB=2x，
∵DT2=DC2-CT2，∴（2x）2=（x+a）2-（x-a）2．
解之得，x=a；
∵AB为直径，
∴∠AEG=90°．
∵AD=ED，
∴AD=ED=DG=a．
∴AG=2a；
∵AD、BC为⊙O的切线，AB为直径，
∴AG∥BC．  
所以△AHG∽△CHB．
∴==．
∴=1．