Question

如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE．过E作EF∥CD交射线BD于F．

（1）若CB=6，PB=2，则EF=______；DF=______

Answer

（1）连接AC、AE、PF，先由等腰直角三角形和正方形的性质得出∠CEP=∠CAP=45°，则A、E、C、P四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等得到∠EAC=∠EPC=90°，所以∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，由平行线的判定得出AE∥BF，又AB∥EF，得出四边形AEFB是平行四边形，则EF=AB=CB=6，再利用SAS证明△PEF≌△PCB，得出PF=PB=2，然后由勾股定理求出BF=2，BD=6，则DF=6-2=4；
（2）连接AE，AC．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CDEF是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得到DG=GF，即DG+GF=2DG，进而得出BF+2DG=BD=CD；
（3）作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，易证△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，则ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．设AB=BC=1，AP=CG=x，用含x的代数式分别表示S四边形PEFC，S四边形CDEF，根据四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为，列出关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据正切函数的定义即可求出tan∠BPC的值．
【解析】
（1）如图1，连接AC、AE、PF，
∵PE⊥PC，PE=CP，
∴∠CEP=∠CAP=45°
∴A、E、C、P四点共圆，
∴∠EAC=∠EPC=90°，
∴∠EAD=∠DAC=45°=∠ABD，
∴AE∥BF，而EF∥CD∥AB，
∴AB∥EF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴EF=AB=CB=6，
∴∠APE=∠PEF，
∵∠EPC=∠PBC=90°，
∴∠APE=∠PCB，
∴∠PEF=∠PCB，
又PE=PC，
∴△PEF≌△PCB（SAS），
∴PF=PB=2，
∴BF=2．
∵BD=AB=6，
∴DF=6-2=4；

（2）BF+2DG=CD．理由如下：
如图1，连接AE，AC．
由（1）可知，AB∥EF，AB=EF，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DG=GF，
∴DG+GF=2DG，
∴BF+2DG=BD=CD；

（3）作EM⊥BA的延长线于点M，延长EF交BC的延长线于点G，
易证：△PEM≌△PBC，四边形CDEF为平行四边形，ME=BP=FG=AB+AP，AP=CG．
设AB=BC=1，AP=CG=x，则
S四边形PEFC=S矩形BMEG-2S三角形BPC-S三角形FCG=（2+x）（1+x）-（1+x）-（1+x）x=x2+x+1，
S四边形CDEF=x；
∵四边形EFCD与四边形PEFC的面积之比为，
∴x：（x2+x+1）=12：35，
x=或，
∵tan∠BPC==，
∴当x=时，tan∠BPC==；
当x=时，tan∠BPC==．
tan∠BPC=或．
故答案为：6，4；或．