Question

如图1，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A和点B，与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点D为射线CB上的一动点（点D、B不重合），过点B作x轴的垂线BE与以点D为顶点的抛物线y=（x-t）²+h相交于点E，从△ADE和△ADB中任选一个三角形，求出当其面积等于△ABE的面积时的t的值；（友情提示：1、只选取一个三角形求解即可；2、若对两个三角形都作了解答，只按第一个解答给分．）
（3）如图2，若点P是直线y=x上的一个动点，点Q是抛物线上的一个动点，若以点O，C，P和Q为顶点的四边形为直角梯形，求相应的点P的坐标．

Answer

（1）令y=x2-2x-3=0，求出方程的两根，A、B两点的坐标即可求出，令x=0，求出y，C点的坐标可求出；
（2）根据抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，求出h与t之间的关系式，从△ADE和△ADB中任选一个三角形，求出当其面积等于△ABE的面积时的t的值即可；
（3）设P点坐标为（a，a），根据点O，C，P和Q为顶点的四边形为直角梯形，分别讨论直角顶点的情况，求出a的值即可．
【解析】
（1）当y=0时，x2-2x-3=0，解之得x1=-1，x2=3，
所以A、B两点的坐标分别为（-1，0），（3，0）．
当x=0时，y=-3，
∴C点的坐标为（0，-3）．

（2）由题意可知，抛物线y=（x-t）2+h沿射线CB作平移变换，其顶点D（t，h）在射线CB上运动，易知直线CB的函数关系式为y=x-3，
∴h=t-3．
①选取△ADE．
△ADE与△ABE共边AE，当它们的面积相等时，点D和点B到AE的距离相等，此时直线AE∥BC，
∴直线AE的函数关系式为y=x+1，
∴点E的坐标为（3，4）．
因为点E在抛物线上，∴4=（3-t）2+h，
∴4=（3-t）2+（t-3），…（6分）
解之得，t1=，t2=．              
②选取△ADB．
△ADB与△ABE共边AB，当它们的面积相等时，点D和点E到x轴的距离相等，
∵点D到x轴的距离为|t-3|，点E到x轴的距离为|（3-t）2+（t-3）|，
∴|t-3|=|（3-t）2+（t-3）|．                            
t-3=（3-t）2+（t-3），或3-t=（3-t）2+（t-3），
解之得t=3或t=1，其中t=3时，点D、B重合，舍去，∴t=1．    
（3）如图3：以OC为腰时，点Q与点A重合，
故CP∥OA，
∵点C的坐标为（0，-3），
∴点P的纵坐标为-3，
∵点P在y=x上，
∴此时点P的坐标为（-3，-3）；
如图4：

以OC为腰时，过点C作y=x的平行线，则可求得与抛物线交点为B，此时可求出点P的坐标为（1.5，1.5）；
如图以OC为底时，
①以OC为下底时，点Q与点A重合，
∵点A的坐标为（1，0），
∴点P的坐标为（-1，-1）；
②以OC为上底时，如图4，
CQ∥x轴，
∵点C的坐标为（0，-3），
∴点Q的坐标为：（2，-3），
∵PQ∥OC，
∴点P的坐标为（2，2）．