Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2．要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形（剪法如图1所示），图1中剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S₁；按照图1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S₂（如图2），则S₂=    ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S₃（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取后，S₁₀=    ．

Answer

根据题意，可求得S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=1，同理可得规律：Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．
【解析】
∵四边形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，
∵AC=BC=2，
∴DE=DF=1，
∴S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=1；
同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，
Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，
∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：2-S1=1=S1，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1-S2=1-==S2，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2-S3=-==S3，
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为：S9-S10=S10=．
故答案为：，．