Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：______．（填“能”或“不能”）
（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=______度；
②若记小棒A_2n-1A_2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…） 求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）．


活动二：
如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，θ₁=______，θ₂=______，θ₃=______；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

Answer

（1）因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去；
（2）①根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出，②结合已知条件，根据直角三角形的性质，即可得出A1A3=，AA3=，由A1A2∥A3A4∥A5A6，可以推出∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，得AA3=A3A4，AA5=A5A6，即可推出a2、a3的长度，然后推出an的关于你的表达式；
（3）根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可推出θ1=∠A2A1A3=2θ，即可推出θ2，同理即可推出θ2，θ3；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．
【解析】
（1）能．
因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去；

（2）①∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3
∴θ2=45°，
θ=22.5°．
故答案为22.5；

②∵AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2⊥A2A3，
∴A1A3=，AA3=．
又∵A2A3⊥A3A4，
∴A1A2∥A3A4．
同理：A3A4∥A5A6，
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，
∴AA3=A3A4，AA5=A5A6
∴a2=A3A4=AA3=，
a3=AA3+A3A5=a2+A3A5．
∵A3A5=a2，
∴a3=A5A6=AA5=．
∴；

（3）∵A1A2=AA1
∴θ1=∠A2A1A3=2θ，
∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ，
∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ，
故答案为θ1=2θ，θ2=3θ，θ3=4θ；

（4）由题意得：
，
∴18°≤θ＜22.5°．