Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B（-2，n）在这条抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线y=-2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标．

Answer

（1）利用拋物线经过原点，将（0，0）代入求出m即可；
（2）将点B（-2，n）代入拋物线求出n的值，进而得出直线l的解析式中b的值；
（3）首先求出E点坐标，进而得出△DFB≌△DHE，再求直线CD的解析式，将一次函数与二次函数联立求出交点坐标．
【解析】
（1）∵拋物线经过原点，
∴m2-6m+8=0．
解得m1=2，m2=4．
由题意知m≠4，
∴m=2．
∴拋物线的解析式为． 

（2）∵点B（-2，n）在拋物线上，
∴n=3．
∴B点的坐标为（-2，3）．
∵直线l的解析式为y=-2x-b，直线l经过B点，
∴3=-2（-2）-b．
∴b=1．

（3）∵拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，
∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为（2，0），
直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D（0，-1）、E（2，-5）．
过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F．
则BG=4．
在Rt△BGC中，．
∵CE=5，∴CB=CE．
过点E作EH⊥y轴于H．
则点H的坐标为 （0，-5）．
∵点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，-1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∵在△DFB和△DHE中

∴△DFB≌△DHE（SAS）．
∴DB=DE．
∵PB=PE，
∴点P在直线CD上．
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点．
设直线CD的解析式为y=kx+a．
将D（0，-1）、C（2，0）代入，
得
解得 
∴直线CD的解析式为．
设点P的坐标为（x，），
∴=．
解得 ，．
∴，．
∴点P的坐标为（，）或（，）．