Question

如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：
①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S_△APD+S_△APB=0.5+．
其中正确结论的序号是（ ）

A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②④

Answer

根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP，然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠APD=135°，然后求出∠BEP=90°，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE列式计算即可判断出④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，先求出∠BEF=45°，从而判断出△BEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为，判断出②错误．
【解析】
在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；

∵AE=AP=1，
∴PE=AE=，
在Rt△PBE中，BE===2，
∴S△APD+S△APB=S△APE+S△BPE，
=×1×1+××2，
=0.5+，故④正确；

过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=×2=，
即点B到直线AE的距离为，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选A．