Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止．连接PQ、点D是PQ中点，连接CD并延长交AB于点E．
（1）试说明：△POQ是等腰直角三角形；
（2）设点P、Q运动的时间为t秒，试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S，并求出S的最大值；
（3）如图2，点P在运动过程中，连接EP、EQ，问四边形PEQC是什么四边形，并说明理由；
（4）求点D运动的路径长（直接写出结果）．

Answer

（1）连接CO．先由等腰直角三角形的性质得出CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=AB，再利用SAS证明△AOP≌△COQ，则OP=OQ，∠AOP=∠COQ，然后证明∠POQ=∠AOC=90°；
（2）由于△CPQ是直角三角形，根据三角形的面积公式得出S=CQ×CP=-t2+2t，再利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求出S的最大值；
（3）连接OD、OC．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=OD=PQ，根据等边对等角得到∠DCO=∠DOC，由等角的余角相等得出∠CEO=∠DOE，则DE=DO=CD，又PD=DQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形PEQC是平行四边形，又∠ACB=90°，由矩形的定义判定平行四边形PEQC是矩形；
（4）由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段，则点D运动的路径长=AB．
（1）证明：如图1，连接CO．
∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=4，点O是AB中点，
∴CO⊥AB，∠BCO=∠A=45°，CO=AO=AB．
在△AOP和△COQ中，
，
∴△AOP≌△COQ（SAS），
∴OP=OQ，∠AOP=∠COQ，
∴∠POQ=∠COQ+∠COP=∠AOP+∠COP=∠AOC=90°，
∴△POQ是等腰直角三角形；

（2）【解析】
∵AP=CQ=t，
∴CP=AB-AP=4-t，
∴S=CQ×CP=×t（4-t）=-t2+2t=-（t-2）2+2，
∴当t=2时，S取得最大值，最大值S=2；

（3）【解析】
四边形PEQC是矩形．理由如下：
如图2，连接OD、OC．
∵∠PCQ=∠POQ=90°，点D是PQ中点，
∴CD=PD=DQ=PQ，OD=PD=DQ=PQ，
∴CD=OD，
∴∠DCO=∠DOC，
∵∠CEO+∠DCO=90°，∠DOE+∠DOC=90°，
∴∠CEO=∠DOE，
∴DE=DO，
∴DE=CD，
∵PD=DQ，
∴四边形PEQC是平行四边形，
又∠ACB=90°，
∴四边形PEQC是矩形；

（4）【解析】
∵DO=DC，
∴点D在线段OC的垂直平分线上，
∴其运动路径为CO的垂直平分线与AC、BC交点之间的线段，即为为Rt△ABC斜边AB的中位线，
∴点D运动的路径长=AB=2．