Question

关于x的一元二次方程（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0有两个不同的实数根是x_l和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=-2时，求4x₁²+6x₂的值．

Answer

（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k-2≠0且△=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可；
（2）先把k=-2代入原方程得到4x2-6x+1=0，根据根与系数的关系得xl+x2=，xl•x2=，由于xl是原方程的解，则4x12-6x1+1=0，即4x12=6x1-1，所以4x12+6x2=6x1-1+6x2=6（x1+x2）-1，然后利用整体思想计算即可．
【解析】
（1）根据题意得k-2≠0且△=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）＞0，
解得k＜3且k≠0；
（2）当k=-2时，方程变形为4x2-6x+1=0，则xl+x2=，xl•x2=，
∵xl是原方程的解，
∴4x12-6x1+1=0，
∴4x12=6x1-1，
∴4x12+6x2=6x1-1+6x2=6（x1+x2）-1=6×-1=8．