Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．

Answer

（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
（2）求△ABC外接圆的面积，只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．
（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．

（2）【解析】
设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴=，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+r=1，
解得：r=2（2-），
∴△ABC的外接圆的面积为：4π（2-）．