Question

如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C．
（1）直线的解析式为______；
（2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标；
（3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点A、B的坐标代入直线解析式，求出k、b的值，继而得出直线的解析式；
（2）连接BC，则BC与对称轴的交点即是P点的位置，根据PA+PB的最小值为5，可求出OC，利用待定系数法可求出抛物线解析式，直线BC解析式，也可得出点P的坐标；
（3）设存在这样的点Q，其坐标为（1，y），然后分三种情况讨论，①QA=QB，②BA=BQ，③AB=AQ，分别求出y的值后即可得出点Q坐标．
【解析】
（1）将点A（-1，0），点B（0，4）代入直线y=kx+b得：，
解得：，
故直线解析式为y=4x+4．

（2）∵点A、点C关于抛物线的对称轴对称，故PA+PB的最小值为线段BC的长，
∴BC=5，
在Rt△BOC中，BC=5，BO=4，
∴OC==3，即点C的坐标为（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点B（0，4）代入得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+x+4．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B（0，4），点C（3，0）代入可得：，
解得：，
故直线BC的解析式为：y=-x+4，
又∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点P的坐标为（1，）．

（3）存在这样的点Q，使△ABQ为等腰三角形．
设Q（1，y），
①当QA=QB时，则有12+（y-4）2=（-1-1）2+y2，
解得：y=，即Q（1，）；
②当BA=BQ时，易知Q（1，0），Q（1，8）（不合题意，舍去）；
③当AB=AQ时，Q（1，）或Q（1，-）．
所以满足条件的Q有四个：Q（1，），Q（1，0），Q（1，）或Q（1，-）．