Question

如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF∥BE，交CD的延长线于点F，∠ABE 的平分线分别交AF、AD于点G、H．
（1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的长度；
（2）证明：BE=AH+DF．

Answer

（1）利用正方形的性质以及已知得出∠ABG=∠GBE=30°，∠AGB=∠GBE，求出AB=BG的长，进而得出AH的长，即可得出DH的长；
（2）首先证明△ADF≌△BCE，进而得出∠GBC=∠MBE，再得出BE=EM=AH+DF，即可得出答案．
（1）【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE=30°，
∴∠AGB=∠GBE，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG=，
又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°，
∴AH=AB=1，
又∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴DH=-1；

（2）证明：将△ABH绕着点B顺时针旋转90°得到△BCM，
∵ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵AF∥BE，
∴∠F=∠BEC，
在△ADF和△BCE中

∴△ADF≌△BCE（AAS），
∴DF=CE，
又由旋转可知：AH=CM，∠AHB=∠M，∠BAH=∠BCM=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BCM=180°，
∴点E、C、M在同一直线．                     
∴AH+DF=EC+CM=EM，
又∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE，
又∵∠ABH=∠CBM，
∴∠GBE=∠CBM，
∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE，
即∠GBC=∠MBE，
又∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHB=∠GBC，
∴∠GBC=∠M，
∴∠M=∠MBE，
∴BE=EM=AH+DF，
∴BE=AH+DF．