Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，顶点D在x轴的负半轴上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，对角线BD平分∠ABC，且tan∠DBO=
（1）求直线AB的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒5个单位长的速度沿着线段AB向终点B运动；同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长的速度沿着线段DA终点A运动，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，当一点到达终点时，另一的也随之停止运动．设线段朋的长度为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式；（请直接写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，将△APQ沿直线PQ折叠后，AP对应线段为A’P，当t为何值时，A’P∥CD，并通过计算说明，此时以为半径的ΘP与直线QH的位置关系．

Answer

（1）根据平行线性质和梯形性质求出BA=AD，设OD=a，根据勾股定理得出（10-a）2+（3a）2=102，求出a，得出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（2）求出DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，根据锐角三角函数求出=，求出AH的值，当P与H重合时，根据cos∠QAP=，求出t，①0≤t＜，根据y=PH=AH-AP代入求出y；②＜t≤2，根据y=AP-AQ代入求出y；
（3）当0≤t＜时，根据平行线和锐角三角函数cos∠QA′K=，代入求出t，求出y，根据直线和圆的位置关系求出即可；当＜t≤2时，点A′在x轴的下方，A′P与x轴交于点K，同理可求得t，根据直线和圆的位置关系求出即可．
【解析】
（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠C=∠CDB，
∴BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=10，
在△BDO中，设OD=a，则OB=3a，
在Rt△ABO中，（10-a）2+（3a）2=102，
∴a=2，a=0（舍去），
∴点A、B的坐标分别是（8，0），（0，6），
设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，
解得：k=-，b=6，
∴直线AB的解析式是y=-x+6．

（2）由题意得：DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，
cos∠PAO===，
在Rt△AQH中，=，
∴AH=（10-4t），
当P与H重合时，cos∠QAH=cos∠QAP===，
解得：t=，
①0≤t＜，y=PH=AH-AP=（10-4t）-5t=t+8；
②＜t≤2，y=AP-AQ=T-8；
综合上述：求得的解析式是．

（3）如图1，当0≤t＜时，延长A′P与x轴交于点K，
∵A′P∥CD，
∴∠AKP=90°，
在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，
QK=AQ-AK=10-4t-4t=10-8t，
在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，
∴AP=5t，
tan∠QA′K===，
∴t=，此时，y=-×+8=，
此时等于⊙P的半径，
所以⊙P和直线相切；
当＜t≤2时，点A′在x轴的下方，A′P与x轴交于点K，
同理可求得：KQ=8t-10，
sin∠A′=sin∠BAC==，
∴t=，
此时y=×-8=＞，
所以⊙P与直线相离．