Question

已知四边形ABCD中．AD=AB，AD∥BC，∠A=90°，M为边AD的中点，F为边BC上一点，连接MF，过射点作ME⊥MF，交边AB于点E
（1）如图1，当∠ADC=90°时，求证：4AE+2CF=CD；
（2）如图2，当∠ADC=135°时，线段AE、CF、CD的数量关系为______

Answer

（1）过点F作FN⊥AD，垂足为N，先证明四边形ABCD是正方形，再由两角对应相等的两三角形相似得出△AME∽△NFM，根据相似三角形的性质得出边的关系，从而得出结论；
（2）过点C作CD′⊥AD于D′，过点F作FN⊥AD于N，则四边形ABFN与四边形FND′C都是矩形，D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．证明△CD′D是等腰直角三角形，得出CD′=DD′=CD，AB=CD，再证明△AME∽△NFM，得到MN=2AE，即MD+DD′-ND′=2AE，然后将MD=CD，DD′=CD，ND′=FC代入，即可得出8AE+4FC=3CD；
（3）设AE=FC=a，则CD=4AE+2FC=6a，AM=DM=3a，AD=CD=6a，在Rt△AME中，由勾股定理求得EM=a，则FM=2a，在Rt△MEF中，根据正切函数的定义得到tan∠MFE===tan∠EFN．再过N作NP⊥EF于P，设NP=x，则PF=2x，证明△BEF是等腰直角三角形，得出∠BEF=45°，在△ENP中，求出NP==x=EP，由EF=EP+PF，得出a=1．在△EFM中由勾股定理求出FM=2，延长CE、DA相交于点R，由两角对应相等的两三角形相似得出△AER∽△BEC，根据相似三角形的性质得出AR=a，则RM=AR+AM=a，然后证明△RMK∽△CFK，得出==，进而求出MK=．
（1）证明：过点F作FN⊥AD，垂足为N．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∵∠ADC=90°，AD=AB，
∴四边形CDAB是正方形，
∴NF=CD=AD．
∵M为边AD的中点，
∴AD=2AM=2MD，
∴NF=CD=2AM．
在△AME与△MFN中，
∵∠A=90°=∠MNF=∠EMF，
∴∠AME+∠NMF=90°=∠NMF+∠MFN，
∴∠AME=∠MFN，
∴△AME∽△NFM，
∴==，
∴MN=2AE，
∵MD=AD=CD=MN+DN=2AE+FC，
∴2MD=4AE+2CF，
∴4AE+2FC=CD；

（2）【解析】
如图2，过点C作CD′⊥AD于D′，过点F作FN⊥AD于N，
则四边形ABFN与四边形FND′C都是矩形，
∴D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．
∵∠ADC=135°，
∴∠D′DC=45°，
∵∠CD′D=90°，
∴△CD′D是等腰直角三角形，
∴CD′=DD′=CD，
∴AB=CD．
在△AME与△NFM中，
∵∠A=∠MNF=90°，∠AME=∠MFN=90°-∠NMF，
∴△AME∽△NFM，
∴==，
∴MN=2AE，
∴MD+DD′-ND′=2AE，
∵MD=AD=AB=×CD=CD，DD′=CD，ND′=FC，
∴CD+CD-FC=2AE，
∴8AE+4FC=3CD；

（3）【解析】
如图3，AE=FC=a，则CD=4AE+2FC=6a，
∴AM=DM=3a，AD=CD=6a，
在Rt△AME中，EM2=AM2+AE2，
∴EM=a，
由（1）得FM=2EM=2a．
在Rt△MEF中，tan∠MFE===tan∠EFN．
过N作NP⊥EF于P，设NP=x，则PF=2x，
∵BE=AB-AE=BC-FC=BF，∠B=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，
在△ENP中，NE=，
∴NP=×==x=EP，
∵EF=EP+PF=3x=5=BE=×5a，
∴a=1，
∵EM2+FM2=EF2，
∴FM=2，
延长CE、DA相交于点R，
在Rt△AER中，∵AR∥BC，
∴∠R=∠ECB，
∵∠AER=∠BEC，
∴△AER∽△BEC，
∴===，
∴AR=a，
∵RM=AR+AM=a．
∵RM∥FC，
∴∠R=∠KCF，
∵∠RKM=∠CKF，
∴△RMK∽△CFK，
∴===，
∵MK+FK=FM=2，
∴MK=FM=．