Question

已知二次函数．
（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x²+2（a+k）x+2a-k²+6k-4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．

Answer

（1）表示出方程：x2+kx+k-=0的判别式，即可得出结论；
（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，则可得当x=1时，函数值y＜0，再由关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，可得出k的取值范围，从而得出k的整数值；
（3）将求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根据方程有大于0且小于3的实数根，可得出a的取值范围，继而得出a的整数值．
（1）证明：x2+kx+k-=0，
△1=b2-4ac=k2-4（k-）
=k2-2k+14
=k2-2k+1+13
=（k-1）2+13＞0，
∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）【解析】
∵二次函数y=x2+kx+k-的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，
∴当x=1时，函数值y＜0，
即1+k+k-＜0，
解得：k＜，
∵关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△2=b2-4ac=（2k+3）2-4k2=4k2+12k+9-4k2=12k+9＞0，
∴k＞-且k≠0，
∴-＜k＜且k≠0，
∴k=1；

（3）【解析】
由（2）可知：k=1，
∴x2+2（a+1）x+2a+1=0，
解得x1=-1，x2=-2a-1，
根据题意，0＜-2a-1＜3，
∴-2＜a＜-，
∴a的整数值为-1．