Question

（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；
（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD．
求证：①FG+BE≥BF；
②∠HGF=∠HDF．

Answer

（1）证△ABE≌△BCF，推出AE=BF，∠BAE=∠CBF，求出∠CBF+∠AEB=90°，求出∠BHE=90°即可；
（2）过点A作AM∥GE交BC于M，证△ABM≌△BCF，推出AM=BF，根据AM∥GE且AD∥BC推出AM=GE即可；
（3）①过点B作BN∥FG，且使BN=FG，连接NG、NE，根据四边形NBFG是平行四边形的性质求出BF=NG，BF∥NG，求出△NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，即NE=BF，即可求出答案；②证G、H、F、D四点共圆，根据圆周角定理得出∠HGF=∠HDF即可．
（1）【解析】
AE=BF且AE⊥BF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵在△ABE和△BCF中

∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BHE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．

（2）BF=GE，
证明：过点A作AM∥GE交BC于M，
∵EG⊥BF，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABF=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
∵在△ABM和△BCF中

∴△ABM≌△BCF（ASA），
∴AM=BF，
∵AM∥GE且AD∥BC，
∴AM=GE，
∴BF=GE；

（3）证明：①：过点B作BN∥FG，且使BN=FG，
连接NG、NE，
∴四边形NBFG是平行四边形，
∴BF=NG，BF∥NG，
由（2）可知，BF⊥GE，且BF=GE，
∴NG⊥EG且NG=EG，
∴△NGE为等腰直角三角形，
由勾股定理得NE=NG，
∴NE=BF，
当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线，
此时，在△BEN中，NB+BE＞NE，即FG+BE＞BF，
当点F与点D重合，点E与点C重合时，N、B、E三点共线，
此时，NB+BE=NE，即FG+BE=BF；

②证明：∵正方形ABCD
∴∠ADC=90°
以GF为直径作⊙P，则点D在⊙P上
∵∠GHF=90°
∴点H也在⊙P上
∴∠HGF=∠HDF．