Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），将线段OM绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M⊥OM，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，则点M₁的坐标是    ，点M₅的坐标是    ；若把点M_n（x_n，y_n）（n是自然数）的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点M_n的绝对坐标，则点M_8n+3的绝对坐标是    （用含n的代数式表示）．

Answer

由于线段OM绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M1M⊥OM，所以△OMM1是等腰直角三角形，而点M的坐标为（1，0），得到点M1的坐标为（1，1），根据等腰直角三角形的性质得
OM1=OM=，同理得到OM2=×=2，OM3=（）3=2，OM4=（）4=4，则可确定点M5的坐标，按此规律得到OM8n+2=（）8n+2=24n+1，由于从M开始，每8个点循环的落在坐标轴和四个象限内，则可得到点M8n+2与点M2的位置一样，都在y轴的正半轴上，于是得到点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）．
【解析】
∵点M的坐标为（1，0），线段OM绕原点O沿逆时针方向旋转45°，得M1M⊥OM，
∴△OMM1是等腰直角三角形，
∴OM1=OM=，点M1的坐标为（1，1），
同理可得OM2=×=2，OM3=（）3=2，OM4=（）4=4，
∴点M5的坐标是（-4，-4）；
∴OM8n+2=（）8n+2=24n+1，
∵点M8n+2在y轴的正半轴上，
∴点M8n+3的绝对坐标是（24n+1，24n+1）．
故答案为（1，1）；（-4，-4）；（24n+1，24n+1）．