Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ADC=120°，AB=AD，E是BC的中点，DE=15，DC=24，求四边形ABCD的周长．

Answer

过A作AF⊥BD与F，根据已知∠A=∠ADC=120°，AB=AD，可知∠ADC=30°，即可证明∠BDC=90°，然后根据直角三角形斜边中线是斜边的一般可求BC的长，继而求出BD的长，在Rt△AED中，根据特殊角的三角函数值可求得AD的长，即可求得ABCD的周长．
【解析】
如图，过A作AF⊥BD与F，
∵∠BAD=120°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADC=120°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=120°-30°=90°，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，E是BC的中点，DE=15，
∴BC=2DE=30，
则BD===18，
∵AD=AB，AF⊥BD，
∴DF=BD=×18=9，
在Rt△AFD中，
∵∠AFD=90°，∠ADB=30°，
∴AD=AB===6，
则四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+30+24+6=54+12．．