Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）
（1）求A、B、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，使△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）根据比例设OA=k，OB=3k，OC=3k，然后表示出AB=4k，再利用△ABC的面积列式求出k，即可得到点A、B、C的坐标；
（2）利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）根据平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大，先求出直线BC的解析式为y=-x+3，再设出平行于直线BC的直线的解析式y=-x+b，然后与抛物线联立，消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出b值，再求出点P的坐标，过点P作PD⊥x轴于D，根据S△BCP=S梯形ODPC+S△PBD-S△OBC列式计算即可得解．
【解析】
（1）∵OA：OB：OC=1：3：3，
∴设OA=k，OB=3k，OC=3k，
则AB=OA+OB=k+3k=4k，
S△ABC=×4k•3k=6，
解得k=1，
∴OA=1，OB=3，OC=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）把点A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

（3）根三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BCP面积最大，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设与直线BC平行的直线为y=-x+b，
联立，
消掉y得，x2-3x+b-3=0，
△=（-3）2-4×1×（b-3）=0，
即b=时，直线与抛物线只有一个交点，△BCP面积最大，
此时，x=-=，
y=-+=，
所以，点P的坐标为（，），
过点P作PD⊥x轴于D，
则S△BCP=S梯形ODPC+S△PBD-S△OBC
=×（3+）×+×（3-）×-×3×3
=+-
=．