Question

如图，将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最值，并求其最值．

Answer

（1）先在直角三角形AOB中根据OB和cos60°，利用三角函数的定义求出OA，然后根据角平分线的定义得到∠AOC等于30°，在△AOC中，利用OA和cos30°，由三角函数的定义即可求出OC的长，根据等角对等边可知BC等于OC；
（2）分两种情况考虑：第一，P在BC边上，根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t，过Q作DE与AC垂直，QE等于CQsin60°，CP等于BC减去PB，利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式；第二，当P在边CQ上时，同理可得S与t的关系式，然后求得二次函数的最值即可；
【解析】
（1）∵∠AOB=60°，
∴在Rt△AOB中，
OA=OBcos60°=，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠COB=30°，
∴OC==2，
∵∠COB=∠CBO=30°，
∴BC=OC=2；

（2）当0＜t≤2时，S=t（2-t）sin60°=-t2+t=-（t-1）2+，当t=1时，有最大值是；
当2≤t＜4时S=（t-2）（4-t）sin60°=-t2+t-2=-（t-3）2+，当t=3时，有最大值是；
综上，当t=1或3时，S有最大值是．