Question

如图，Rt△ABC（∠ABC=90°）的顶点A是双曲线与直线y=x+k的在第一象限的交点，C为y=x+k与x轴的交点．若S_△ABO=1，
（1）求出这两个函数的表达式和△ABC的面积；
（2）点M、N分别在x轴和y轴上，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求M、N的坐标．

Answer

（1）根据S△ABO=1，求出k的值，从而得到一次函数与反比例函数的解析式，再根据一次函数解析式求出C点坐标，再将y=x+2和y=组成方程组，求出A点坐标，然后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）分两种情况讨论，①AN∥MC，AN=MC时，四边形ANMC为平行四边形，再求出M、N的坐标；②MN∥AC，MN=AC时，四边形ACNM为平行四边形，再求出M、N的坐标．
【解析】
（1）∵∠ABO=90°，S△ABO=1，
∴k=2S△ABO=2，
故一次函数解析式为y=x+2；反比例函数解析式为y=；
当y=0时，对于x+2=0，x=-2；
C点坐标为（-2，0），
将y=x+2和y=组成方程组得；
，
解得x=-1±，y=1±，
由于交点在第一象限，
故A点坐标为（-1+，1+）．
∴S△ABC=×BC×AB=×（-1++2）×（1+）=2+；

（2）如图1，作AN⊥y轴，则AN∥MC，
在OC上截取MC=AN，
故四边形ANMC为平行四边形．
∵AN=-1+，
∴MC=-1+，
有∵CO=2，
∴MO=2-1+=1+，
∵ON=AB=1+，
∴N点坐标为（0，1+），M点坐标为（1+，0）．
如图2，当MN∥AC，MN=AC时，
四边形ACNM为平行四边形，
易得，△ABM≌△NOC，
∴AB=NO，
∴N点坐标为（0，1+），
∵△ABC≌△NOM，
∴OM=BC=（-1++2）=1+，
∴M点坐标为（1+，0）．