Question

如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE=BC=13，AB=24．三角板的一个45°角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F．

（1）如图1，试问线段DF与EF的有何数量关系？并说明理由；
（2）如图1，是否存在△ECB为等腰三角形？若存在，求出DF的长；若不存在，说明理由．继续以下探索：
（3）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF=x，OH=y，写出y关于x的函数关系式．

Answer

（1）连接AF．先由矩形的性质得出AD=BC=13，∠D=90°，则AD=AE=13，再利用HL证明△ADF≌△AEF，即可得出DF=EF；
（2）分三种情况进行讨论：①当BE=BC=13时，过E作EP⊥CD于P，延长PE交AB于Q．先由等腰三角形三线合一的性质得出AQ=AB=12，在Rt△AEQ中，运用勾股定理得出EQ=5，则PE=8，再设DF=x，在Rt△PEF中，运用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；②当EC=BC=13时，连接AC．由AE+EC=13+13＜AC=，根据三角形两边之和大于第三边得出△AEC不存在，即不可能出现EC=BC；③当EC=EB时，过E作EP⊥CD于P，延长PE交AB于Q，先由EC=EB，得出E在BC的垂直平分线上，则PE=EQ=，再解Rt△AQE，得到∠EAQ=30°，由同角的余角相等得出∠PEF=30°，然后解Rt△PEF即可；
（3）先仿照（1）得出OE=OI，则由OI=HI-OH=13-y，得出OF=13-y+x，然后在Rt△OFH中，运用勾股定理得出OH2+FH2=OF2，即y2+（13-x）2=（13-y+x）2，整理后即可得出y关于x的函数关系式．
【解析】
（1）线段DF与EF相等，理由如下：
如图1，连接AF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=13，∠D=90°，
∵AE=BC=13，
∴AD=AE=13．
在△ADF与△AEF中，∠D=∠E=90°，
，
∴△ADF≌△AEF（HL），
∴DF=EF；

（2）分三种情况：
①如图2，当BE=BC=13时，过E作EP⊥CD于P，延长PE交AB于Q，则PQ⊥AB，AQPD是矩形．
∵AE=BC，BE=BC，
∴AE=BE，
∵EQ⊥AB，
∴AQ=QB=AB=12．
在Rt△AEQ中，∵∠AQE=90°，AE=13，AQ=12，
∴EQ==5，
∴PE=PQ-EQ=13-5=8．
设DF=x，则EF=x，FP=12-x，
在Rt△PEF中，∵∠EPF=90°，
∴PE2+FP2=EF2，
即82+（12-x）2=x2，
解得x=，
∴DF=；
②如图3，当EC=BC=13时，连接AC．
∵AE=BC=13，EC=BC=13，
∴AE=EC=13．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=24，BC=13，
∴AC==，
∵AE+EC=13+13＜，
∴△AEC不存在，
∴不可能出现EC=BC；
③如图3，当EC=EB时，过E作EP⊥CD于P，延长PE交AB于Q，则PQ⊥AB，AQPD是矩形．
∵EC=EB，
∴E在BC的垂直平分线上，
∴PE=EQ=．
∵EQ=AE，∠AQE=90°，
∴∠EAQ=30°，
∴∠PEF=∠EAQ=90°-∠AEQ=30°，
∴EF==，
∴DF=EF=；
综上所述，存在△ECB为等腰三角形，此时DF的长或；

（3）如图5，同（1）可证OE=OI，
∴OF=OE+EF=OI+DF=OI+x，
∵OI=HI-OH=13-y，
∴OF=13-y+x．
在Rt△OFH中，∵∠OHF=90°，
∴OH2+FH2=OF2，
又∵OH=y，FH=13-x，OF=13-y+x，
∴y2+（13-x）2=（13-y+x）2，
∴y=．