Question

已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）．

（1）求证：AE+CF=EF；
（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK=8．△BEF的周长为24，求PK的长．

Answer

（1）连结DF，作DM⊥EF，垂足M．先利用AAS证明△DAE≌△DME，得出AE=ME，再利用HL证明Rt△DCF≌Rt△DMF，得出CF=MF，进而可证明AE+CF=EF；
（2）连接EK、ED．先由∠EAK=∠EDK=45°，得出A、E、K、D四点共圆，根据圆内接四边形的对角互补得到∠EKD=90°，由勾股定理得出DK2=DE2=（AD2+AE2），再根据S四边形AEKD=S△ADE+S△KDE=S△AEK+S△KDA，由三角形的面积公式整理后可得出AE+AD=AK；
（3）先由△BEF的周长为24，结合（1）的结论求出正方形ABCD的边长为12，则AC=12，再由（2）的结论得出AE=4．然后根据AE∥CD，得到△AEP∽△CDP，由相似三角形对应边成比例得出==，求出CP=9，进而得到PK=CP-CK=5．
（1）证明：连结DF，作DM⊥EF，垂足M．
∵DM⊥EF，GE⊥EF，
∴∠GEF=∠DMF=90°，
∴DM∥GE，
∴∠MDE=∠DEG，
∵DG=GE，
∴△GDE是等腰三角形，
∴∠GED=∠GDE，
∴∠GDE=∠EDM，
∵在△DAE和△DME中，
，
∴△DAE≌△DME（AAS），
∴DM=AD，AE=ME，
∵AD=CD，
∴DC=DM，
在Rt△DCF和Rt△DMF中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DMF（HL），
∴CF=MF，
∴AE+CF=EM+MF，
∵EM+MF=EF，
∴AE+CF=EF；

（2）【解析】
连接EK、ED．
由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，
∴∠ADE=∠MDE=∠ADM，∠CDF=∠MDF=∠CDM，
∴∠EDF=∠EDM+∠MDF=∠ADM+∠CDM=∠ADC=45°，
∵∠EAK=45°，
∴∠EAK=∠EDK，
∴A、E、K、D四点共圆，
∴∠EAD+∠EKD=180°，
∴∠EKD=180°-∠EAD=90°，
∴∠EDK=45°，
∴△EDK是等腰直角三角形，DE2=2DK2，
∵S四边形AEKD=S△ADE+S△KDE=S△AEK+S△KDA，
∴AD•AE+DK•EK=AK•AE•sin∠EAK+AK•AD•sin∠DAK，
∴AD•AE+DK2=AK•AE×+AK•AD×，
∵DK2=DE2=（AD2+AE2），
∴AD•AE+（AD2+AE2）=AK•AE+AK•AD，
∴2AD•AE+AD2+AE2=AK•AE+AK•AD，
∴（AD+AE）2=AK（AD+AE），
∵AD+AE≠0，
∴AE+AD=AK；

（3）【解析】
∵△BEF的周长为24，
∴BE+EF+BF=24，
由（1）知AE+CF=EF，
∴BE+AE+CF+BF=24，
∴AB+BC=24，
∴AB=BC=12，即正方形ABCD的边长为12，
∴AC=AB=12．
由（2）知AE+AD=AK，
∵AK=8，
∴AE+AD=×8=16，CK=AC-AK=12-8=4，
∴AE=16-AD=4．
∵AE∥CD，
∴△AEP∽△CDP，
∴===，
∴CP=AC=×12=9，
∴PK=CP-CK=9-4=5．