Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2，E是AC上的一点（AE＞CE），且DE=BE，则AE的长为    ．

Answer

根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，过点D作DF⊥AC于F，根据等腰直角三角形的性质求出DF=CF=AC，设CE=x，表示出EF，然后分别用勾股定理表示出DE2、BE2，再列出方程求解即可．
【解析】
∵AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=AB=×2=，
根据勾股定理，AC===3，
过点D作DF⊥AC于F，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴DF=CF=AC=，
设CE=x，则EF=-x，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=（）2+（-x）2，
在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2=2+x2，
∵DE=BE，
∴（）2+（-x）2=2+x2，
解得x=，
所以，AE=AC-CE=3-=．
故答案为：．