Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M．点G是线段CE上一点，且CO=CG．
（1）若OF=4，求FG的长；
（2）求证：BF=OG+CF．

Answer

（1）根据条件证明△OCF≌△GCF，由全等的性质就可以得出OF=GF而得出结论；
（2）在BF上截取BH=CF，连接OH．通过条件可以得出△OBH≌△OCF．可以得出OH=OF，从而得出OG∥FH，OH∥FG，进而可以得出四边形OHFG是平行四边形，就可以得出结论．
（1）【解析】
∵CF平分∠OCE，
∴∠OCF=∠ECF．
∵OC=CG，CF=CF，
∵在△OCF和△GCF中，
，
∴△OCF≌△GCF（SAS）．
∴FG=OF=4，
即FG的长为4．

（2）证明：在BF上截取BH=CF，连接OH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠OCB=180°-∠BOC-∠DBC=45°．
∴∠OCB=∠DBC．
∴OB=OC．
∵BF⊥CF，
∴∠BFC=90°．
∵∠OBH=180°-∠BOC-∠OMB=90°-∠OMB，
∠OCF=180°-∠BFC-∠FMC=90°-∠FMC，
且∠OMB=∠FMC，
∴∠OBH=∠OCF．
∵在△OBH和△OCF中
，
∴△OBH≌△OCF（SAS）．
∴OH=OF，∠BOH=∠COF．
∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，
∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．
∴∠OHF=∠OFH=（180°-∠HOF）=45°．
∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．
∵△OCF≌△GCF，
∴∠GFC=∠OFC=135°，
∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°．
∴∠FGO=∠FOG=（180°-∠OFG）=45°．
∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．
∴OG∥FH，OH∥FG，
∴四边形OHFG是平行四边形．
∴OG=FH．
∵BF=FH+BH，
∴BF=OG+CF．