Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴相交于点C，连接AO，过点A作AD⊥x轴于点D，且OA=OC=5，cos∠AOD=．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点E在x轴上（异于点O），且S_△BCO=S_△BCE，求点E的坐标．

Answer

（1）利用余弦函数求出OD的长，再利用勾股定理求出AD的长，得到A点坐标，将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出比例系数，从而得到反比例函数解析式；
（2）根据S△BCO=S△BCE，得到×OC×BH=×CE×BH，再求出OE的长，判断出E点坐标的位置．
【解析】
（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，
∵cos∠AOD===
∴DO=3．
∴AD==4．
∵点A在第一象限内，
∴点A的坐标是（3，4）． 
将点A（3，4）代入y=（m≠0），=4，m=12．
∴该反比例函数的解析式为y=．
∵OC=5，且点C在x轴负半轴上，
∴点C的坐标是（-5，0），
将点A（3，4）和点C（-5，0）代入y=kx+b（k≠0）得，，
解得，，
∴该一次函数的解析式为y=x+．
（2）过点B作BH⊥x轴于点H．
∵S△BCO=S△BCE，
∴×OC×BH=×CE×BH，
∴OC=CE=5．
∴OE=OC+CE=5+5=10．
又∵点E在x轴负半轴上，
∴点E的坐标是（-10，0）．