Question

如图，已知直线l的解析式为y=-x+6，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，当直线n与直线l重合时，运动结束．直线n与x轴，y轴分别相交于C、D两点，以线段CD的中点P为圆心、CD为直径，在CD上方作半圆，半圆面积为S．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t为何值时，半圆与直线l相切？
（3）直线n在运动过程中，
①求S与t的函数关系式；
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S=S_梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据一次函数解析式，求出A、B两点坐标即可；
（2）分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，利用当PF=PD时，半圆与l相切，求出即可；
（3）①由OA=OB=6，得出△AOB是等腰直角三角形，进而得出PD的长，即可得出答案；
②S梯形ABCD=S△AOB-S△COD以及S=S梯形ABCD，求出即可．
【解析】
（1）∵y=-x+6，
令y=0，得0=-x+6，
解得：x=6．
∴A（6，0）．
令x=0，得y=6，
∴B（0，6）；

（2）分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F．
AD=OA-OD=6-t，
在Rt△ADE中，
sin∠EAD=，
DE=，
∴PF=DE=．
当PF=PD时，半圆与l相切．
即（6-t）=t，
解得：t=3．
当t=3时，半圆与l相切；

（3）①∵OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∵n∥l，
∴∠CDO=∠BAO=45°，
∴△COD为等腰直角三角形，
OD=OC=t．
CD===t，
∴PD=CD=t，
πPD2=π（t）2=πt2，
∴；
②存在．
∵S梯形ABCD=S△AOB-S△COD=×6×6-t×t=18-t2，
．
若S=S梯形ABCD，则，
∴t2=12，
解得：，
∴存在，使得S=S梯形ABCD．