Question

如图，AB是⊙O的直径，DF切⊙O于点D，BF⊥DF于F，过点A作AC∥BF交BD的延长线于点C．
（1）求证：∠ABC=∠C；
（2）设CA的延长线交⊙O于E，BF交⊙O于G，若的度数等于60°，试简要说明点D和点E关于直线AB对称的理由．

Answer

（1）作辅助线，连接OD，由DF为⊙O的切线，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以OD∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，从而可证∠ABC=∠C；
（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，=60°，可求证===60°由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．
证明：（1）连接OD，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF．
∵BF⊥DF，AC∥BF，
∴OD∥AC∥BF．
∴∠ODB=∠C．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ABC=∠C．

（2）连接OG，OD，AD，
∵BF∥OD，
∴∠OBG=∠AOD，=．
∵=60°，
∴===60°．
∴OD∥BF∥AC．
∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∠ODE=∠E=30°．
在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，
∴∠OHD=90°，
∴AB⊥DE．
∴点D和点E关于直线AB对称．