Question

如图1，E为线段AB上一点，AB=4BE，以AE，BE为直径在AB的同侧作半圆，圆心分别为O₁，O₂，AC、BD分别是两半圆的切线，C、D为切点．
（1）求证：AC=BD；
（2）现将半圆O₂沿着线段BA向点A平移，如图2，此时半圆O₂的直径E′B′在线段AB上，AC′是半圆O₂的切线，C′是切点，当为何值时，以A、C′、O₂为顶点的三角形与△BDO₁相似？

Answer

（1）如果设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，那么根据AB=4BE，可知R=3r．连接O1D，O2C，那么O1B=5r，AO2=7r，可在直角△BO1D中求出BD的长，同理求出AC的长，即可得出AC，BD的比例关系；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当∠CAO2=∠B时，O2C，O1D和AO2，BO1分别对应成比例．设AE′=kAB，那么可用k，r表示出AE′的长，然后代入比例关系式中即可求出k的值．
②当∠CAO2=∠DO1B时，AO2，BO1和O2C，BD对应成比例，然后按①的方法即可求出此时k的值．
（1）证明：连接O1D，O2C，设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，
则R=3r
在直角三角形BO1D中
∵BO1=5r，O1D=3r
∴BD=4r，
同理可求得AC=4r
∴AC=BD；

（2）【解析】
设AE′=kAB，因此AE′=8kr
①当∠C′AO2=∠B时，，即
∴k=，
②当∠C′AO2=∠BO1D时，，即
∴k=，
或时，以A、C′、O2为顶点的三角形与△BDO1相似．