Question

在直角坐标系中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的动⊙P始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，动⊙P与x轴相切，设与x轴的切点为K，求此时⊙P的面积．
（2）如图2，动⊙P与x轴相交，设交点为B、C．当四边形ABCP是菱形时，求此时⊙P的面积．

Answer

（1）根据切线的性质以及正方形的判定和矩形的判定得出四边形OKPA是正方形，进而得出答案；
（2）首先得出△PBC是等边三角形，进而利用锐角三角函数关系得出PB=PA的长，即可得出⊙P的面积．
【解析】
（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切
∴PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四边形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四边形OKPA是正方形．
∴PA=PK=r，
∴r2=2，
∴⊙P的面积=r2π=2π；

（2）连接PB，设点P的横坐标为x，
则其纵坐标为．
过点P作PG⊥BC于G，
∵四边形ABCP为菱形
∴BC=PC=PA=AB，而 PA=PB=PC，
∴△PBC是等边三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．
sin60°=，
即
解得：x=±2（负值舍去）
∴PA=BC=r=2，
∴⊙P的面积=4π．