Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．
（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，
①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．
（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出Q点的坐标．
（2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求．
【解析】
（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
S△CPQ=S梯形QCOA-S△COP-S△APQ=（AQ+OC）×OA-AP•AQ-OC•OP
=（0.5t+6）×10-×0.5t×（10-t）-×6×t
=（t-6）2+21
∵a=＞0，
∴当t=6时，S△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q点的坐标是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
（i）当△COP∽△PAQ时：
∴=，
∴=，
即t2-7t=0，
解得，t1=0（不合题意，舍去），t2=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q点的坐标是（10，3.5）．

（ii）当△COP∽△QAP时：
=，
∴=，
即t2+12t-120=0
解得：t1=-6+2，t2=-6-2（不合题意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+．
∴Q点的坐标是（10，-3+）；

（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴，
即，
解得，t1=2，t2=18，
又∵0＜t＜10，
∴t=2．代入任何一个式子，可求a=．
∴AQ=at=
∴Q点的坐标是（10，）．