Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer

（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；
（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；
（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；
（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-（x-）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；
【解析】
（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
故抛物线为y=-x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得
，
解得
故直线AC为y=x+1；

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=-x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-×=；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x2+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x-1）
由F在抛物线上
∴x-1=-x2+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
=-x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=PQ•AG
=（-x2+x+2）×3
=-（x-）2+
∴面积的最大值为．

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=（x+1）（-x2+2x+3）+（-x2+2x+3+3）（2-x）-×3×3
=-x2+x+3
=-（x-）2+
∴△APC的面积的最大值为．