Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同的速度分别从点A、点D开始在AB、DA上向点B、点A运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离；
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

Answer

（1）首先表示出AN的长，进而得出∠PAN的度数，利用PN=AN•sin∠PAN=（20-x）得出即可；
（2）首先得出S△AMN=AM•NP，进而得出其最值，利用S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN，得出当x=10时，五边形BCDNM面积最小，进而得出△AMN的形状．
【解析】
（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．
由已知得，AM=x，AN=20-x．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，
∴∠D=∠C=30°．
∴∠PAN=∠D=30°．
在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=（20-x）．
即点N到AB的距离为．

（2）根据（1）S△AMN=AM•NP=x（20-x）=-+5x．
∵，
∴当x=10时，S△AMN有最大值．
又∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN，且S梯形为定值，
∴当x=10时，五边形BCDNM面积最小．此时，ND=AM=10，AN=AD-ND=10，
∴AM=AN．
∴当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．