Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似．请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标．

Answer

（1）根据圆心的坐标和半径的长即可求出A，B两点的坐标，然后将A，B的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．
（2）可先在直角三角形OO1M中求出∠MO1O的度数，然后过M作x轴的垂线，设垂足为F，可在直角三角形MO1F中根据∠MO1O的度数和MO1的长求出MF和O1F的长，即可得出M点的坐标，进而可根据M的坐标求出直线OM的解析式．
（3）由于P在OM上，因此∠POA=∠MOO1，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当AP∥O1M时，②当PA⊥OB时．据此可求出P点的坐标．（①可参照求M点坐标时的方法来解，②可直接将A点横坐标代入直线OM的解析式中，即可求出P的坐标）．
【解析】
（1）∵圆心的坐标为O1（2，0），⊙O1半径为1，
∴A（1，0），B（3，0），
∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A，B，
∴可得方程组，
解得：，
∴二次函数解析式为y=-x2+4x-3．

（2）过点M作MF⊥X轴，垂足为F．
∵OM是⊙O1的切线，M为切点，
∴O1M⊥OM（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
在RT△OO1M中，sin∠O1OM==，
∵∠O1OM为锐角，
∴∠O1OM=30°，
∴OM=OO1•cos30°=，
在RT△MOF中，OF=OM•cos30°=．
MF=OMsin30°=．
∴点M坐标为（），
设切线OM的函数解析式为y=kx（k≠0），由题意可知=k，
∴k=，
∴切线OM的函数解析式为y=x

（3）两个，
①过点A作AP1⊥x轴，与OM交于点P1，
可得Rt△AP1O∽Rt△MO1O（两角对应相等两三角形相似），
P1A=OA•tan∠AOP1=，
∴P1（1，）；
②过点A作AP2⊥OM，垂足为，过P2点作P2H⊥OA，垂足为H．
可得Rt△OP2A∽Rt△O1MO（两角对应相等两三角形相似），
在Rt△OP2A中，
∵OA=1，
∴P2=OA•cos30°=，
在Rt△OP2H中，OH=OP2•cos∠AOP2=，
P2H=OP2•sin∠AOP2=，P2（，），
∴符合条件的P点坐标有（1，），（，）．