Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．
（1）求证：BF=AC；
（2）求证：CE=BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．

Answer

（1）利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC．
（2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF
（3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解．
（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．
∴BF=AC；

（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE=AE=AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=AC=BF；

（3）证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD．
H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）
连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=∠ABC=×45°=22.5°，∠EGC=45°．
又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．
∵△GEC是直角三角形，
∴CE2+GE2=CG2，
∵DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴CE2+GE2=CG2=BG2；即2CE2=BG2，BG=CE，
∴BG＞CE．