Question

如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G
（1）若AB=8，BF=16，求CE的长；
（2）求证：AE=BE+DG．

Answer

（1）求出AE=EF，设CE=x，则BC=8-x，EF=AE=8+x，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程82+（8-x）2=（8+x）2，求出方程的解即可；
（2）根据平行线性质得出∠3=∠2+∠5=∠4，证△ABM≌△ADG，推出∠4=∠∠M，∠1=∠6，求出∠M=∠MAE，推出ME=AE即可．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=8，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAG=∠F，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG=∠EAF，
∴∠EAF=∠F，
∴AE=EF，
设CE=x，则BC=8-x，EF=AE=8+x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：82+（8-x）2=（8+x）2，
x=2，
解CE=2；

（2）
证明：延长CB到M，使BM=DG，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABM=90°，AD=AB，AB∥CD，
∴∠3=∠2+∠5=∠4，
在△ABM和△ADG中

∴△ABM≌△ADG，
∴∠4=∠∠M，∠1=∠6，
∵∠1=∠2（角平分线定义），
∴∠2=∠6，
∴∠4=∠M=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5，
即∠M=∠MAE，
∴AE=BE，
∵BM=DG，
∴AE=BE+DG．