Question

如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，
设OP的长度为m．
①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

Answer

（1）根据抛物线过点A（0，1），B，求出c，b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）①先设直线的解析式是y=kx+b，根据直线AB过点A（0，1）和B，求出b，k的值，求出直线AB的解析式，再根据PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
得出P（m，0），M（m，m+1），即可求出PM的长度；
②根据抛物线的解析式和P点的坐标得出N（m，-m2+m+1），MN∥BC，再分两种情况讨论，当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，求出MN的值，根据BC=，得出-m2+m=，求出m得值，即可得出答案．
【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点A（0，1），B，
∴，
解得：，
∴y=-x2+x+1；

（2）①设直线的解析式是y=kx+b，
∵直线AB过点A（0，1）和B，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，m+1），
∴PM=m+1；
②根据抛物线的解析式和P点的坐标可得：N（m，-m2+m+1），MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
1、当点P在线段OC上时，MN=-m2+m，
又∵BC=，
∴-m2+m=，
解得m1=1，m2=2；
2、当点P在线段OC的延长线上时，MN=m2-m，
∴m2-m=，
解得：m1=（不合题意，舍去），m2=；
综上所述，当m的值为1或2或时，四边形BCMN是平行四边形．