Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒
（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；
（2）当MN∥AB时，求t的值；
（3）试探究：t为何值时，△CMN为等腰三角形？

Answer

（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；
（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；
（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【解析】
（1）∵AD=3，BC=10，
∴梯形ABCD的中位线长为：（3+10）÷2=6.5；

（2）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG=AD=3．
∴GC=10-3=7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t，CM=10-2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴=，
即=．
解得，t=；

（3）分三种情况讨论：
①当NC=MC时，如图2，即t=10-2t，
解得：t=；
②当MN=NC时，如图3，过N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三线合一性质得
EC=MC=（10-2t）=5-t．
在Rt△CEN中，cosC==，
又在Rt△DHC中，cosC==，
∴=．
解得：t=；
③当MC=MN时，如图4，过M作MF⊥CN于F点，FC=NC=t．
∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴=，
即=，
解得：t=．
综上所述，当t=、t=或t=时，△MNC为等腰三角形．