Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
（1）求证：AD=ED；
（2）若AD=6，AB=18，求四边形ABFD的面积．

Answer

（1）延长DF交BC于点G，可得四边形ABGD是矩形，根据矩形的性质可得AD=BG，然后利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF，全等三角形对应边相等可得BF=DF，再利用“角边角”证明△BGF和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DE，从而得证；
（2）设DF=x，然后表示出BF，FG，在Rt△BFG中，利用勾股定理列式求解得到DF的长，再根据梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解析】
（1）延长DF交BC于点G，
∵∠ABC=90°，AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABGD是矩形，
∴AD=BG，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
∵，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF，BF=DF，
在△BGF和△DEF中，
∵，
∴△BGF≌△DEF（ASA），
∴BG=DE，
∴AD=ED；

（2）设DF=x，则BF=DF=x，
所以FG=DG-DF=AB-DF=18-x，BG=AD=6，
在Rt△BFG中，由勾股定理得，BG2+FG2=BF2，
即62+（18-x）2=x2，
整理得，36x=360，
解得x=10，
所以四边形ABFD的面积×（10+18）×6=84．