Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
【解析】
（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y=-x+3；
当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x=-=1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：
MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：
m2+4=m2-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：
m2+4=10，得：m=±；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：
m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．