Question

已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O₁，射线AO₁交半圆O于点B，联结OC．

（1）如图1，求证：AB∥OC；
（2）如图2，当点B与点O₁重合时，求证：；
（3）过点C作射线AO₁的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO=5，O₁B=1时，求的值．

Answer

（1）利用对称性得出∠OAC=∠O1AC，再利用等边对等角得出∠OAC=∠C，即可得出∠C=∠O1AC，求出AB∥OC即可；
（2）由点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，由点O1与点B重合，可得AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB=CB；
（3）分别根据当点O1在线段AB上以及当点O1在线段AB的延长线上时分别求出AE的长即可得出答案．
【解析】
（1）∵点O1与点O关于直线AC对称，
∴∠OAC=∠O1AC．
在⊙O中，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C．
∴∠C=∠O1AC，
∴O1A∥OC，
即AB∥OC；

（2）方法一：如图2，连结OB．
∵点O1与点O关于直线AC对称，AC⊥OO1，
由点O1与点B重合，可得AC⊥OB．
∵点O是圆心，AC⊥OB，
∴AB=CB，

方法2：∵点O1与点O关于直线AC对称，
∴AO=AO1，CO=CO1，
由点O1与点B重合，可得 AO=AB，CB=CO，
∵OA=OC，
∴AB=CB．
∴AB=CB，

（3）当点O1在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO1+O1B=AO+O1B=6，
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB=3．
∴AE=EH+AH=5+3=8，
∵AB∥OC，
∴==，
当点O1在线段AB的延长线上，如图4，
过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE=OC=5．
∵AB=AO1-O1B=AO-O1B=4，
又∵OH⊥AB，
∴AH=AB=2．
∴AE=EH+AH=5+2=7，
∵AB∥OC，
∴==．