Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．设直线l的运动时间为t秒．
（1）填空：当t=1时，⊙P的半径为______

Answer

（1）利用垂径定理、等腰直角三角形的性质求解；
（2）①本问关键是画出符合条件的图形，总共有3种情况，如答图1所示，注意不要遗漏；
②关键点在于：首先，本问的图形比较复杂，需正确作出图形；其次，找到线段CD与AD之间的关联，这就是Rt△DCE∽Rt△ADO，通过计算可知其相似比为1，即两个三角形全等，从而得到CD=AD，△DAC为等腰直角三角形；
本问符合条件的点C有2个，因此存在两种情形，分别如答图2和答图3所示，注意不要遗漏．
【解析】
（1），OA=2，OB=2； …（3分）

（2）符合条件的点C有3个，如图1．
连接PA，∵∠AOB=90°，由圆周角定理可知，AB为圆的直径，点A、P、B共线．
∵圆心P在直线y=x上，∴∠POA=∠POB=45°，
又∵PO=PA=PB，∴△POB与△POA均为等腰直角三角形．
设动直线l与x轴交于点E，则有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）．
∵OBPC1为平行四边形，∴C1P=OB=2t，C1E=C1P+PE=2t+t=3t，
∴C1（t，3t）；
同理可求得：C3（t，-t）；
∵OPBC2为平行四边形，且PB=PO，∠OPB=90°，
∴▱OPBC2为正方形，其对角线OB位于y轴上，则点P与点C2关于x轴对称，
∴C2（-t，t）；
∴符合条件的点C有3个，分别为C1（t，3t）、C2（-t，t）、C3（t，-t）；…（7分）

（3）△DAC是等腰直角三角形．理由如下：
当点C在第一象限时，如图2，连接DA、DC、PA、AC．
由（2）可知，点C的坐标为（t，3t），由点P坐标为（t，t），点A坐标为（2t，0），点B坐标为（0，2t），
可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形，
又PO=PB，进而可得△OPB也是等腰直角三角形，则∠POB=∠PBO=45°．
∵∠AOB=90°，∴AB为⊙P的直径，∴A、P、B三点共线，
又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°，
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°，
∴AC为⊙Q的直径，∴DA⊥DC…（9分）
∴∠CDE+∠ADO=90°
过点C作CE⊥y轴于点E，则有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE，
∴Rt△DCE∽Rt△ADO，
∴，即，
解得OD=t或OD=2t
依题意，点D与点B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t，
∴，即相似比为1，此时两个三角形全等，则DC=AD，
∴△DAC是等腰直角三角形．…（11分）
当点C在第二象限时，如图3，同上可证△DAC也是等腰直角三角形． …（12分）
综上所述，当点C在直线y=x上方时，△DAC必为等腰直角三角形．…（13分）